POCETNA STRANA

 
SEMINARSKI RAD IZ STATISTIKE
 

Srednje vrednosti statistickog skupa

 

Obrada rezultata pedagoškog eksperimenta počinje statističkom analizom, u kojoj se istražuje statistička masa (osnovni skup ili populacija) u stanju mirovanja, odnosno struktura statičke mase u datom momentu, ili određenom vremenskom periodu, u kome je ona posmatrana, s tim što se vreme kao faktor uticanja ne uzima u obzir. 

 

Srednji statistički podaci koji su tabelarno ili grafički prikazani služe za statističku analizu, s ciljem istraživanja pravilnosti i zakonitosti posmatranih masovnih pojava. Statistička analiza i ima taj zadatak da primenom različitih metoda i postupaka raščlani i uporedi podatke, otkrije i formuliše zakonitosti koje vladaju u posmatranoj masovnoj pojavi

 

Koristeći relativne brojeve i raspodelu frekvencija može se steći izvestan globalni utisak o posmatranoj pojavi i posmatranom statističkom skupu. Ipak za dalju i svrsishodniju analizu potebne su nam preciznije metode kojima ćemo masu statističkih podataka obraditi tako da  postane upotrebljiva u procesu donošenja odluka.

 

Analizu statističkih podataka možemo vršiti tako što ćemo definisati izvesne pokazatelje ili parametre čije ce nam vrednosti izražavati određene sumarne karakteristike datih podataka. Vrednost sumarnih parametara omogućiće donošenje zaključaka o određenoj pojavi ili procesu koji su izraženi posmatranim podacima.

 

Prva grupa takvih parametara su tzv. srednje vrednosti ili proseci. Veoma često se koriste i u svakodnevnom životu (npr. prosečan lični dohodak ili prosečna produktivnost itd.). Ovi parametri pokazuju neku centralnu vrednost posmatranog obeležja X na elementima statističkog skupa.

 

Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije prezentuju sredinu statističke serije. Najčešće se oko te srednje vrednosti grupiše najveći broj jedinica. Srednje vrednosti se nalaze između najmanje i najveće vrednosti obeležja.

 

Sednja vrednost je reprezentativna vrednost, koja po datim merilima, zamenjuje sve vrednosti obeležja u datoj seriji. U statističkoj literaturi dobila je naziv reprezentativna vrednost zato što predstavlja i zameljuje sve vrednosti serije, jer iz njih proističe i nosi njihove zajedničke karakteristike.

 

Kao reprezentativni pokazatelj serije srednja vrednost karakteriše statistički skup. Ako se posmatra jedan statistički skup po jednom numeričkom obeležju i pođe se od individualnih vrednosti tog obeležja, teško će se uočiti bitna i zajednička karakteristika čak i kad su pojedinačni podaci, grupisanjem u serije, svedeni na manji broj. Zato se nastoji da se ta serija zameni jednim brojem koji omogućava da se uoči karakteristika posmatranog skupa.

 

Srednje vrednosti: aritmetička, harmonijska i geometrijska sredina, zatim modus i medijana.

 

U zavisnosti od načina definisanja, srednje vrednosti se dele na izračunate i pozicione.

 

2. SREDNJE VREDNOSTI

 

Srednje vrednosti su vrednosti obeležja koje na specifičan način reprezentuju čitavu statističku masu, odnosno zamenjuju sve vrednosti u statističkoj seriji i karakterišu statističku masu u celini.  

Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije zauzimaju u statistici vrlo značajno mesto i vrlo se često primenjuju. Centralna tendencija je težnja ka okupljanju podataka skupa  oko jedne centralne vrednosti, koja je opšta i reprezentativna za celu distribuciju. Značaj mera centralne tendencije je u tome što one sintetizuje čitav niz pojedinačnih vrednosti jednog skupa  i njihova uloga je da, zanemarujući individualne razlike između podataka skupa, istaknu onu veličinu koja je za sve njih karakteristična i koja može da služi kao sredstvo za upoređivanje raznih serija.

Neophodno je da se srednja vrednost određuje iz homogenog skupa da bi imala značaj reprezentativne i tipične vrednosti. U slučaju da je skup heterogen, potrebno je najpre izvršiti podelu skupa u homogene delove, a zatim će se posebno odrediti srednje vrednosti za svaki od tih delova. Moguće je naći srednju vrednost i u heterogenom skupu i računarski i formalno, ali takva vrednost nema značaj statističke srednje vrednosti kao reprezentativnog pokazatelja. Pri određivanju i primeni srednjih vrednosti mora biti zadovoljen princip homogenosti statističkog skupa.

Prema tome da li se izračunavaju    ili određuju prema položaju pojedinih vrednosti obeležja, srednje vrednosti se mogu podeliti u dve grupe: potpune srednje vrednosti i položajne srednje vrednosti.

Potpune srednje vrednosti, računaju se upotrebom svih podataka u statističkom nizu. Potpune srednje vrednosti su: aritmetička sredina, harmonijska sredina i geometrijska sredina.

Položajne srednje vrednosti određuju se položajem podataka u nizu. Najvažnije položajne srednje vrednosti su: modus i medijana.

Svaka od pomenutih srednjih vrednosti određuje se posebnim statističko-matematičkim metodama i ima određene karakteristike. Srednje vrednosti se ne mogu izračunati  kod svih serija. One se izračunavaju, odnosno određuju samo kod numeričkih (rasporeda frekvencija), a mogu se izračunati iz vremenskih serija. Za utvrđivanje karakteristika pasporeda frekvencija one predstavljaju polaznu osnovu.

Srednja vrednost jedne serije ne može biti manja od najmanje vrednosti obeležja, niti veća od najveće vrednosti obeležja. Srednja vrednost može biti i neka vrednost koja uopšte ne postoji u seriji. Srednja vrednost može imati i decimalan broj, i ako se vrednosti obeležja izračunavaju u celim brojevima (na primer: prosečan broj članova domaćinstva može biti 3,4).

 

Poželjno je da srednje vrednosti imaju sledeće osobine:

  • Ako su sve vrednosti posmatranog obeležja X na statističkom skupu međusobno jednake onda i njihova srednja vrednost treba da je jednaka toj vrednosti.
  • U datom statističkom skupu postoji najmanja i najveća vrednost posmatranog obeležja X. Srednja vrednost treba da je veća od najmanje a manja od najveće vrednosti obeležja X.
  • Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti obeležja X na celim statističkom skupu.

2.1. ARITMETIČKA SREDINA

 

Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom životu najviše se koristi aritmetička sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na aritmetičku sredinu. Aritmetička sredina niza brojeva je broj koji se dobije kada se njihov zbir podeli sa ukupnim brojem članova tog niza.

Aritmetička srednja vrednost ili prosečna srednja vrednost ili samo srednja vrednost ima najširu primenu u statistici. Ponaša se kao ”ravnotežna tačka” u skupu, a nedostatak joj je što na njenu vrednost utiču ekstremne vrednosti (”outliers”). Srednja vrednost se izražava u istim jedinicama kao i osnovni podaci.  

Najčešće upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmetička sredina. Ona je ujedno i najlakša za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom životu (najčeće koristimo reč ‘prosek’ da izrazimo upravo aritmetičku sredinu). Aritmetička sredina predstavlja prosečnu vrednost nekog kontinuiranog niza brojeva.

U statističkoj analizi aritmetička sredina najčešće se izračunava za vrednosti numeričkog obeležja, pa je polazna veličina za izračunavanje aritmetičke sredine je zbir vrednosti numeričkog obeležja elemenata osnovnog skupa.

        Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmetičke sredine jeste da podaci u seriji pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za određivanje te homogenosti zavisi od prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg želimo da dobijemo. Aritmetička sredina ima dva osnovna načina izračunavanja.

 

            Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se:

  • prosta aritmetička sredina ,
  • ponderisana (složena, vagana) aritmetička sredina.

 

Prvi način odnosi se na izračunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se svaki podatak javlja samo po jedanput. Ako se aritmetička sredina određuje za jedan običan statistički niz, onda se ona naziva prosta ili jednostavna aritmetička srednja vrednost. Jednostavna aritmetička srednja vrednost izračunava se tako  što se zbir svih podataka podeli njihovim brojem.

Drugi način izračunava aritmetičke sredine primenjuje se kod sređenih serija (serije distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini podaci (modaliteti) javljaju  u nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir veličina frekvencije svakog modaliteta. Svaki modalitet se ponderiše, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmetička sredina naziva ponderisana (vagana) aritmetička sredina.

Ponderisana aritmetička srednja vrednost izračunava se tako što se zbir svih proizvoda numeričkih podataka i odgovarajućih frekvencija podeli ukupnim zbirom frekvencija,odnosno ukupnim brojem podataka. 

Aritmetička sredina može se računati i za više skupova i to je aritmetička sredina aritmetičkih sredina.

Najširu upotrebu u statističkoj analizi, a i šire, ima aritmetička sredina. Izračunava se tako što se zbir svih vrednosti obeležja podeli njihovim brojem. Ako posmatrano obeležje označimo sa X, njegove vrednosti sa x1 ,x2,.... xi,.... xn, imaćemo:

 

µ = x1+ x2 +...+xn = 1  x i    ili prostije    µ  = x

                   N                 N   i=1                                                             N

 

 

Ako, primera radi, pet slučajno anketiranih turista dnevno troše: 320, 330, 360, 380 i 410 dinara, prosečna dnevna potrošnja, odnosno aritmetička sredina iznosiće:

 

 µ  = x  = 320 + 330 + 360 + 380 + 410 = 1800 = 360

              N                                    5                       5

 

U ovom prostom primeru uočljivo je da se svaka vrednost javlja jedanput (sa frekvencijom 1). Za sve ovakve negrupisane serije prosek se, kao što vidimo, utvrđuje jednostavno, reč je o tzv.prostoj aritmetičkoj sredini.

 

Znatno češće imamo posla sa grupisanim podacima u vidu rasporeda frekvencija, tj.sa skupovima unutar kojih se svaka vrednost obeležja može javiti više puta. Ako, u opštem slučaju, vrednosti  obeležja  označimo sa x1, x2,.... xi,.... xn, a  odgovarajuće  frekvencije sa     f1, f2, ... fi, ... fn , aritmetička  sredina  će biti:

 

µ =  f1 x1f2 x2 + ... + fn  xn    , tj.

                            N

 

                                    n

µ =  1   fi xi    ili prostije

         N   i=1

 

 

µ  = f x  , gde je

              N

 

                                                                                        n

N = f1 f2 + ... + fn     =    fi   =   f.

                                               i=1

 

 

Ovako utvrđena prosečna vrednost poznata je kao ponderisana aritmetička sredina jer se sve vrednosti uzimaju u zbir onoliko puta koliko se one i javljaju unutar rasporeda. Ponderacioni faktor je, dakle, frekvencija ( f ).

 

Posmatrajmo, na primer, dnevnu potrošnju jednog skupa slučajno anketiranih domaćih turista. Rezultat ankete u vidu rasporeda frekvencija dat je u tabeli 1.

 

Tabela 1. Struktura skupa stranih turista prema iznosu dnevne potrošnje

( u dolarima)

 

Dnevna potrošnja

Broj turista (f)

X

fx

1

2

3

4

Do 220

5

200

1000

220-260

15

240

3600

260-300

45

280

12600

300-340

25

320

8000

340-380

8

360

2880

380 i više

2

400

800

100

 

28880

 

U ovom rasporedu vidimo još jednu mogućnost razgraničenja grupisanih intervala. Umesto decimalnim brojem (na primer 220 - 259,9), ono je, kao što vidimo, izvršeno opisno. Radi izračunavanja prosečne dnevne potrošnje (ponderisane aritmetičke sredine) za posmatrani skup turista, moraju se utvrditi sredine grupnih intervala (kolona 3 u tabeli 1.) i pomnožiti odgovarajućim frekvencijama (kolona 2). Imaćemo, dakle:

                        

                                    n

µ =  1   fi xi   = f x = 28880 = 288,80.

           N     i=1                          N         100

 

Ponderisana aritmetička sredina, tj.prosečna dnevna potrošnja za posmatrani skup turista, iznosi 288,80 dolara, koliko, u proseku, svaki od posmatranih turista troši dnevno, pri čemu stvarna potrošnja svakog pojedinačno po pravilu odstupa od ovog proseka.

 

Aritmetička sredina, uz osobine koje karakterišu svaku srednju vrednost, ima i izvesne karakteristike (analitičke i matematičke prirode) značajne za njeno izračunavanje i primenu u statističkom radu.

 

Aritmetička sredina, jedan broj koji reprezentuje ceo skup podataka, ima važne prednosti. Prvo, ona je odomaćena i intuitivno jasna većini ljudi. Drugo, svi podaci imaju aritmetičku sredinu i to samo jednu. Aritmetička sredina je pogodna za korišćenje u većini statističkih procedura. Nedostatak aritmetičke sredine je što na njenu vrednost utiču ekstremne, jako male i jako velike, vrednosti. Drugi problem što svaki podatak iz serije ulazi u obračun što nije pogodno za serije sa velikim brojem podataka. Treći problem je što ne može da se izračuna za otvorene klasne intervale tipa "veće od" ili "manje od".

 

2.2. GEOMETRIJSKA SREDINA

 

U analizama vremenskih serija najpogodnija srednja vrednost je geometrijska sredina. Njeno izračunavanje je malo komplikovanije od izračunavanja aritmetičke sredine jer zahteva i operacije množenja i korenovanja realnih brojeva. Geometrijska sredina niza brojeva je N-ti koren iz proizvoda njegovih članova. Da bi odredili geometrijsku sredinu za svako N vrednosti obeležja X moraju biti pozitivne. Zato je i upotreba geometrijske sredine ograničena samo na ona obeležja koja su pozitivna.

Geometrijska sredina je izračunata srednja vrednost ali se razlikuje od aritmetičke sredine i po svojim karakteristikama i po načinu izračunavanja.

Geometrijska sredina dobija se kada se iz proizvoda pojedinih vrednosti obeležja date serije izvadi koren čiji je izložilac ravan broju svih članova serije. Geometrijska sredina je N-ti koren proizvoda svih vrednosti negrupisanog numeričkog obeležja jednog niza.

Geometrijska sredina primjenjuje se u analizi vremenskih nizova. Pomoću nje izračunava se prosečna stopa promene pojave. Geometrijska sredina, kao i svaka srednja vrednost, nalazi se između najveće i najmanje vrednosti niza za koji se izračunava. Brojčano se razlikuje od aritmetičke sredine, osim ako svi članovi niza nisu jednaki. Geometrijska sredina je uvek manja od aritmetičke. 

To je srednja vrednost koja izračunava proporcionalne promene između podataka posmatrane serije, za razliku od aritmetičke koja izravnava apsolutne razlike između podataka. Ona se, dobija kada se iz proizvoda pojedinačnih vrednosti obeležja date serije izračunava koren čiji je izložitelj jednak broju članova te serije.         

Ako posmatrano obeležje označimo sa x , njegove pojedinačne vrednosti sa x1, x2,... xn, a njihov broj sa N, onda će po prethodno datoj definiciji geometrijska sredina biti:

                                                               N   

                G = x1*x2 ...*xi...xn*

 

Izračunavanje geometrijske sredine ima smisla samo za ona obeležja čije su vrednosti veće od nule. Polazeći od ove predpostavke, logaritmovanjem prethodnog izraza dobijamo:

                                                                                                                                                                                           n

log G  =  1 ( log x1 + log x2 +... + log xn) =    1   log x i , odnosno

                    N                                                                      N   i=1        

 

Antilogaritmovanjem:

                                      

                                                                                       n

                G =    1  fi log xi

                                                                                                                                                                                            

                                     N   i=1        

 

Dobijamo obrazac za izračunavanje proste geometrijske sredine, slučaj kada se svaka vrednost u seriji javlja samo po jedanput.

 

PROCITAJ / PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
ASTRONOMIJA | BANKARSTVO I MONETARNA EKONOMIJA | BIOLOGIJA | EKONOMIJA | ELEKTRONIKA | ELEKTRONSKO POSLOVANJE | EKOLOGIJA - EKOLOŠKI MENADŽMENT | FILOZOFIJA | FINANSIJE |  FINANSIJSKA TRŽIŠTA I BERZANSKI    MENADŽMENT | FINANSIJSKI MENADŽMENT | FISKALNA EKONOMIJA | FIZIKA | GEOGRAFIJA | HEMIJA I INFORMACIONI SISTEMI | INFORMATIKA | INTERNET - WEB | ISTORIJA | JAVNE FINANSIJE | KOMUNIKOLOGIJA - KOMUNIKACIJE | KRIMINOLOGIJA | KNJIŽEVNOST I JEZIK | LOGISTIKA | LOGOPEDIJA | LJUDSKI RESURSI | MAKROEKONOMIJA | MARKETING | MATEMATIKA | MEDICINA | MEDJUNARODNA EKONOMIJA | MENADŽMENT | MIKROEKONOMIJA | MULTIMEDIJA | ODNOSI SA JAVNOŠCU |  OPERATIVNI I STRATEGIJSKI    MENADŽMENT | OSNOVI MENADŽMENTA | OSNOVI EKONOMIJE | OSIGURANJE | PARAPSIHOLOGIJA | PEDAGOGIJA | POLITICKE NAUKE | POLJOPRIVREDA | POSLOVNA EKONOMIJA | POSLOVNA ETIKA | PRAVO | PRAVO EVROPSKE UNIJE | PREDUZETNIŠTVO | PRIVREDNI SISTEMI | PROIZVODNI I USLUŽNI MENADŽMENT | PROGRAMIRANJE | PSIHOLOGIJA | PSIHIJATRIJA / PSIHOPATOLOGIJA | RACUNOVODSTVO | RELIGIJA | SOCIOLOGIJA |  SPOLJNOTRGOVINSKO I DEVIZNO POSLOVANJE | SPORT - MENADŽMENT U SPORTU | STATISTIKA | TEHNOLOŠKI SISTEMI | TURIZMOLOGIJA | UPRAVLJANJE KVALITETOM | UPRAVLJANJE PROMENAMA | VETERINA | ŽURNALISTIKA - NOVINARSTVO

preuzmi seminarski rad u wordu » » »  

Besplatni Seminarski Radovi